Định Lý Viet (Viète) Hay Hệ Thức Viet Và Ứng Dụng Của Chúng
là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét.
Định lý Vi-et học ở chương trình đại số ở cấp 2 và cấp 3 có nội dung kiến thức quan trọng đối với học sinh.
Định lý viet thuận Định lý Viet đảo
Theo hệ thức Vi-et, phương trình (ax^2 + bx + c = 0) (2) với a≠0 có hai nghiệm là x1, x2 khi và chỉ khi thỏa mãi các hệ thức:
(x_1 + x_2 = frac{-b}{a})
(x_1*x_2 = frac{c}{a})
Từ hệ thức viet chúng ta có thể áp dụng để tìm 2 số a và b khi biết a+b=S và a.b=P, khi đó ta chỉ cần giải phương trình (x^2-Sx+P=0), a và b chính là 2 nghiệm của phương trình.
Do đó, các ứng dụng của Định lý Vi-et bao gồm:
• Tính nhẩm nghiệm . Ví dụ: Với phương trình (x^2 – 5x + 6 = 0), ta có thể tính nhẩm nghiệm số nguyên của phương trình là 2 và 3 bởi 2 + 3 = 5 và 2 x 3 = 6.
• Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc 2:
• Biến tam thức bậc 2 thành nhân tử: Nếu x1, x2 là nghiệm của đa thức (f(x) = ax^2 + bx + c) có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x – x1)(x – x2)
Công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình bậc 2 có dạng như sau nếu 2 nghiệm của phương trình lần lượt là x1 và x2, ta có công thức:
(ax^2 + bx + c = 0), điều kiện a # 0 thì ta có x1 + x2 = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a
Phương trình (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 khi đó:
Định lý viet bậc 3
Lưu ý: Áp dụng Định lý viet bậc 3 giúp giải một số bài dễ dạng hơn
Phương trình đa thức bất kỳ có dạng:
Cho x1, x2, x3,…, xn là n nghiệm của phương trình đa thức ở trên, ta có công thức như sau:
Do đó, công thức Vi-ét sẽ là kết quả của phép tính ở vế phải và ta được:
Phương trình đa thức bất kỳTheo đó, trong hàng k bất kỳ, ta sẽ có đẳng thức (a_{n-k}) sẽ là vế phải còn vế trái sẽ là:
Phương trình đa thức bất kỳ 1
Ví dụ về phương trình bậc 3 cho x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình: (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)
Ta chia đều cho a3 tức a ở cả 2 về của phương trình đồng thời chuyển dấu trừ (nếu có) sang về phải thì công thức Vi-et là:
Phương trình đa thức bất kỳ 2
Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng 1
Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng 4
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 1
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 6
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 1
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 8
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước 1
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước 10
Dựa trên cơ sở của định lý Vi-et, ta thiết lập phương trình bậc 2 có nghiệm là x1, x2. Nếu x1+x2=S; x1.x2=P thì nghiệm của phương trình là x1, x2
Xét các ví dụ:
Thiết Lập Phương Trình Bậc 2
Thiết Lập Phương Trình Bậc 2 Nhãn
Gọi các nghiệm của phương trình (x^2 – 3x + 1 = 0) là x1, x2. Yêu cầu tìm giá trị của các biểu thức mà không giải phương trình.
Bài tập ứng dụng định lý Viète 6 Bài tập ứng dụng định lý Viète 7Đề bài có phương trình x^2 + (2m – 1)x – m = 0
a. Chứng minh với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
b. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm. Để biểu thức A=(x_1^2 + x_2^2 - x_1.x_2) có giá trị nhỏ nhất hãy tìm giá trị của m.
Bài tập ứng dụng định lý Viète 8Tìm giá trị của k của phương trình x^2 + 2x + k = 0 để nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 trong các điều kiện như sau:
x1 – x2 = 14
x1 = 2x2
(x_1^2 + x_2^2 = 1)
1/x1 + 1/x2 = 2